Voici le programme de mathématiques approfondies. Chaque année s’organise en deux semestres de volume équivalent. Durant les deux années, trois thématiques principales sont abordées : l’algèbre, l’analyse et les probabilités et statistiques. Ces trois thématiques ne doivent pas être vues de manière indépendante, puisque les liens entre elles sont nombreux et font l’objet d’épreuves aux concours. Le premier semestre réutilise de nombreux acquis de terminale en les approfondissant. Néanmoins, le rythme soutenu ne permet pas de rattraper les notions mal maitrisées, en particulier les habitudes calculatoires.

Premier semestre :

1) Raisonnement, logique
Ce chapitre sera l’occasion de découvrir les différents types de raisonnements (par contraposée, par implication, par l’absurde, par récurrence...) ainsi que de préciser l’emploi des symboles d’équivalence ou des quantificateurs "il existe" et "pour tout".

2) Calculs de sommes et produits
Ce chapitre permet de se familiariser avec quelques notions abstraites (indices, variables muettes) et quelques techniques calculatoires particulièrement utiles pour les autres chapitres (sommes télescopiques, sommes géométriques, etc.)

3) Polynômes
Ce chapitre sera l’occasion de revoir en particulier les résultats sur les polynômes du second degré, mais aussi d’avoir quelques outils pour l’étude plus générale des polynômes de degré quelconque.

4)systèmes linéaires et matrices
Ce chapitre se base sur les idées développées avec la géométrie dans l’espace en terminale. Cependant, l’étude des systèmes peut se faire purement algébriquement, et l’aspect géométrique ne sera pas développé. L’étude des matrices permet d’abord de simplifier l’écriture des systèmes linéaires puis de servir d’outil pour les applications linéaires au deuxième semestre.

5) Suites
L’étude des suites réelles poursuit ce qui a été vu en terminale. L’étude des limites se fait soit avec des formules explicites, soit avec des théorèmes théoriques (théorème de convergence monotone, etc.).

6) Ensembles, applications
L’objectif de ce chapitre est de fournir les bases et le langage pour les fonctions et les probabilités.

7) Fonctions réelles, continuité et limites
Les connaissances de terminale seront réutilisées (croissances comparées, etc.) pour le calcul de limites. Celui-ci sera essentiel aussi bien en analyse qu’en probabilité.

8) Dérivabilité et étude de fonctions
En continuité avec le lycée, la dérivée est utilisée essentiellement pour l’étude de fonctions.

9) Intégration sur un segment
Ce chapitre reprend essentiellement les notions vues en terminale pour le calcul d’intégrales et des méthodes de calculs sont ajoutés (changement de variable en particulier).

10) Probabilité sur un ensemble fini
L’objectif est de rappeler et de consolider les principes et le langage utile en théorie des probabilités.

Deuxième semestre

1) Algèbre linéaire
Ce chapitre a pour vocation de fournir une généralisation théorique des idées développées dans le chapitre sur les matrices et systèmes linéaires (nombres de solutions, dimension, variables redondantes, etc.) L’abstraction permet de développer des outils puissants de résolutions de problèmes linéaires.

2) Compléments d’analyse
L’objectif de ce chapitre est de donner de nouveaux outils pour le calcul de limites, faire le lien avec les dérivées d’ordre supérieure et utiliser ces résultats pour le calcul de sommes infinies (séries) ou d’intégrales ayant des bornes infinies (intégrales généralisées).

3) Probabilités sur un ensemble quelconque
Les outils d’analyse développés lors des chapitres précédents permettent de définir les variables aléatoires à densité et les théorèmes de convergence et d’approximation.

M. Le Meur, professeur de mathématiques.